Esferas

Esfera pode ser definida como "um sólido geométrico formado por uma superfície curva contínua cujos pontos estão equidistantes de um outro fixo e interior chamado centro". Ou seja, é uma superfície fechada de tal forma que todos os pontos dela estão à mesma distância de seu centro, ou ainda, de qualquer ponto de vista de sua superfície, a distância ao centro é a mesma.

 

Assim sendo:

• Superfície esférica de centro O, é o conjunto de pontos do espaço cuja distância a O é igual a R.
• Esfera é o conjunto de pontos do espaço cuja distância a O é igual ou menor que o raio R. A área da superfície esférica de raio R é dada por A = 4.

Área da Superfície Esférica: A área da superfície esférica de raio R é dada por A = 4.π.R²

Voluma da Esfera: O volume da esfera de raio R é dado por V = 4/3.π.R³

Secção da Esfera: OO’ é a distância do plano α ao centro da esfera. Qualquer plano α que secciona uma esfera de raio R determina como seção plana um círculo de raio R.

Circulo Máximo: Quando o plano que secciona a esfera contiver um diâmetro, teremos d = 0. Nesse caso, o círculo determinado terá raio R e será denominado círculo máximo.

 
Fuso Esférico: É uma parte da superfície esférica que se obtém ao girar uma semi-circunferência de um ângulo α em torno de seu eixo:

Radianos: Af = 2.R². α

Graus: Af = π.R².α/90º

Cunho Esférico: Parte da esfera que se obtém ao girar um semicírculo em torno de seu eixo de um ângulo α:

Radianos: Vc = 2/3.R³.α

Graus: Vc =  π.R².α/270º

Esta querendo saber mais ou ver em prática? Então Exercícios e Vídeo - Esferas

Fonte: Só Matemática - Esferas e Info Escola - Esferas.

Exercícios e Vídeo - Esferas

Vídeo:

Exercícios:

Pérolas da Matemática

Aluno que é aluno de verdade, sempre tenta dar aquela enrolada básica ou até mesmo brincadeirinhas. Então veja essas pérolas inacreditáveis.

Pérola do Limite:

Pérola da Expansão:

Pérola da Raiz:

Pérola do Seno:

 

 Pérola do X:

Na questão acima, vale a pena ressaltar a nota que ele recebeu: - 0,5

 Pérola da Conversão:

 

 

Pérola do Gráfico:

 Pérola da Soma:

y= 1 + 1
y= 3
IGUAL A TRÊS? Como assim?

Por fim, um descanso aos professores na hora de corrigirem as provas.

 

Atenção: Não faça isso em sua prova!

Pirâmides - Áreas, Volume, Troncos

Áreas

Numa pirâmide, temos as seguintes áreas:

a) área lateral ( A_L): reunião das áreas das faces laterais

b) área da base ( A_B): área do polígono convexo ( base da pirâmide)

c) área total (A_T): união da área lateral com a área da base

A_T = A_L +A_B

        Para uma pirâmide regular, temos:

em que:

Volume

        O princípio de Cavalieri assegura que um cone e uma pirâmide equivalentes possuem volumes iguais:

Troncos

          Se um plano interceptar todas as arestas de uma pirâmide ou de um cone, paralelamente às suas bases, o plano dividirá cada um desses sólidos em dois outros: uma nova pirâmide e um tronco de pirâmide; e um novo cone e um tronco de cone.

          Vamos estudar os troncos.

Tronco da pirâmide

      Dado o tronco de pirâmide regular a seguir, temos:

• as bases são polígonos regulares paralelos e semelhantes;
• as faces laterais são trapézios isósceles congruentes.

Pirâmides - Secção paralela à base de uma pirâmide

Secção paralela à base de uma pirâmide

        Um plano paralelo à base que intercepte todas as arestas laterais determina uma secção poligonal de modo que:

• as arestas laterais e a altura sejam divididas na mesma razão;
• a secção obtida e a base sejam polígonos semelhantes;
• as áreas desses polígonos estejam entre si assim como os quadrados de suas distâncias ao vértice.

Relações entre os elementos de uma pirâmide regular

      Vamos considerar uma pirâmide regular hexagonal, de aresta lateral l e aresta da base a:

    Assim, temos:

•  A base da pirâmide é um polígono regular inscritível em um círculo de raio OB = R.

• A face lateral da pirâmide é um triângulo isósceles.

• Os triângulos VOB e VOM são retângulos.

Pirâmides

Geometria Espacial

 

Pirâmides

      Dados um polígono convexo R, contido em um plano , e um ponto V ( vértice) fora de , chamamos  de pirâmide o conjunto de todos os segmentos .

Elementos da pirâmide

        Dada a pirâmide a seguir, temos os seguintes elementos:

• base: o polígono convexo R
• arestas da base: os lados do polígono
• arestas laterais: os segmentos
• faces laterais: os triângulos VAB, VBC, VCD, VDE, VEA
• altura: distância h do ponto V ao plano

Classificação

      Uma pirâmide é reta quando a projeção ortogonal do vértice coincide com o centro do polígono da base.

        Toda pirâmide reta, cujo polígono da base é regular, recebe o nome de pirâmide regular. Ela pode ser triangular, quadrangular, pentagonal etc., conforme sua base seja, respectivamente, um triângulo, um quadrilátero, um pentágono etc.

        Veja:

Observações:

1ª) Toda pirâmide triangular recebe o nome do tetraedro. Quando o tetraedro possui como faces triângulos eqüiláteros, ele é denominado regular ( todas as faces e todas as arestas são congruentes).

2ª) A reunião, base com base, de duas pirâmides regulares de bases quadradas resulta num octaedro. Quando as faces das pirâmides são triângulos eqüiláteros, o octaedro é regular.

Noções Básicas

  Noções Geométricas

• Definição

A geometria é a ciência que investiga as formas e as dimensões dos seres matemáticos.

• Geometria Elementar

  É a parte da geometria que estuda as figuras planas que podem ser traçadas com régua e compasso, e os sólidos cujas seções são estas figuras.

• Linhas

• Linha Poligonal

É a linha formada por segmentos de retas sucessivas, em diversas direções. As linhas poligonais podem ser:

abertas ou fechadas.

• Polígono

É a figura formada por uma linha poligonal fechada.

 

• Elementos do Polígono

LADOS - São os segmentos AB, BC, CD, ED e DA.

ÂNGULOS INTERNOS: São os ângulos formados por dois lados consequitivos.

ÂNGULOS EXTERNOS: São os ângulos formados por um lado e pelo prolongamento de outro lado adjacente.

VÉRTICES: São os pontos A, B, C, D e E.