aplicações dos números complexos  Os números complexos são muito úteis na Aerodinâmica. Joukowski (1906), utilizando transformações geométricas, construiu uma curva fechada no plano complexo que representa o perfil de uma asa de avião (aerofólio de Joukowski) e, usando o princípio de Bernoulli (1738) e a teoria das funções complexas, deduziu a fórmula F = x + yi = -iei(VkL) , que permite calcular a força de levantamento responsável pela sustentação do voo de um avião. Os números complexos permitiram uma explicação matemática para o voo. Daí em diante o progresso aeronáutico foi rápido.Joukowski

Na eletrônica e na eletricidade, a análise de circuitos de corrente alternada é feita com a ajuda de números complexos. Grandezas como a impedância (em ohms) e a potência aparente (em volt-ampère) são exemplos de quantidades complexas.

A impedância é o número complexo Z = R + jX, ou na forma polar Z = |Z|(cos +jsen), onde j² = -1 ,  é o ângulo (argumento) de defasagem entre a tensão aplicada e a corrente no circuito, |Z| é o módulo, R é a resistência elétrica (em ohm) e X é a resultante (em ohm) das reatâncias indutivas e capacitivas do circuito. Na Física e na Engenharia é usado, como número imaginário, o j no lugar do i para evitar confusão com o i de corrente elétrica.

A potência aparente (em volt-ampère) é o número complexo P = Pr + jPx, ou, P = |P|(cos +jsen), onde j² = -1 , |P| é o módulo,  é o ângulo de defasagem entre a tensão e a corrente, Pr é a potência real ou ativa (em watt), Px é a potência reativa (em volt-ampère reativo). O valor do cos (fator de potência) é importante na determinação do aproveitamento da energia que está sendo gasta.

Os procedimentos (algoritmos) recursivos (iterativos ou recorrentes) no plano complexo criaram na maioria das vezes figuras invariantes por escala denominadas fractais. Estas formas geométricas de dimensão fracionária servem como ferramenta para: descrever as formas irregulares da superfície da terra; modelar fenômenos, aparentemente imprevisíveis ( teoria do caos ), de natureza meteorológica, astronômica, econômica, biológica, etc. Von Koch (1904) e Julia (1910), foram os pioneiros no nascimento dessa nova matemática (ou será nova arte?).

Henon (1974) estudou o sistema X_n+1 = 1 - Y_n - a(X_n)² e Y_n+1 = bX_n. Foi observado que, dados a, b, X_o, Y_o, variando n (n = 0,1,2,3, ...) e representando o par (X_n , Y_n) no plano complexo, independentemente dos valores iniciais X_o e Y_o, os caminhos numéricos descritos pelos pares ordenados (X_o , Y_o), (X₁ , Y₁) , (X₂ , Y₂) , ... , (X_n ,Y_n) repetiam-se, formando hexágonos deformados. Ampliando seu conjunto de trajetórias (vários X_o e Y_o) e representando-as juntas no plano complexo, Henon produziu uma figura enigmática que chamou de "Gingerbreadman".

Mandelbrot (1975) estudou a equação X_n+1 = (X_n)² + Z , onde Z = a + bi, i² = -1 e n = 1 , 2 , 3 , ... . Através de um programa recursivo de computador (um programa em loop), variou Z e o computador imprimiu na tela os pontos X_n+1. Constatou que, para cada valor de Z uma figura era impressa na tela. Ampliando as figuras descobriu que continham cópias aproximadas de si mesmas (auto-semelhança).

Hubbard (1979) resolveu a equação polinomial do quarto grau x⁴ - 1 = 0 no computador, usando o método de Newton (1711) estendido para raízes complexas. Ao mapear a maneira pela qual o método leva, de diferentes valores iniciais x_o, a uma das quatro soluções, produziu também geometria fractal. Os fractais permitem desenhar (ou modelar) qualquer coisa (ou fenômeno) da natureza numa tela de computador (computação gráfica), tudo isto graças ao corpo dos números complexos.

Exercitando o cone

Exercícios sobre Cone

Questão 1

(Fuvest – SP) Um cone circular reto está inscrito em um paralelepípedo reto retângulo, de base quadrada, como mostra a figura.

A razão b a entre as dimensões do paralelepípedo é 3/2 e o volume do cone é π. Determine o comprimento g da geratriz do cone.

Questão 2

No cone reto a seguir, a geratriz (g) mede 20 cm e a altura mede 16 cm. Determine seu volume.   

Precisamos calcular a medida do raio da base, e para isso utilizaremos o teorema de Pitágoras. Observe.

Questão 3

Um cone possui raio da base medindo 4 cm e altura igual a 10 cm. Determine a altura de um líquido que ocupa nesse cone o volume de 100 cm³.

Questão 4

Um cone possui diâmetro da base medindo 24 cm, geratriz 20 cm e altura igual a 16 cm. Determine sua área total e seu volume.

Respostas

 

Resposta Questão 1

                

Resposta Questão 2

          

Resposta Questão 3

Resposta Questão 4

Área total
A = π * r * (g + r)
A = 3,14 * 12 * (20 + 12)
A = 3,14 * 12 * 32
A = 1 205,76 cm²

Volume

Os cones a nossa volta

Vai aqui algumas imagens para demonstrar como os cones estão mais presentes a nossa volta, que imaginamos:

Sapatos - A indústria de desing dos calçados também utiliza essa ferramenta geométrica para bolar modelos diferenciados. 

Sorvetes - Esses geralmente possuem o formato de cone.

Transporte - Os cones presentes nas ruas sinalizam e atentam o motorista para alguma situação incomum no trânsito, também de grande importância.

Decoração - Definir o formato nos arbustos também é um modo de decorar e tornar harmônica sua aparência. Este formato é bem comum na época natalina.

Construção - A cobertura de casas também pode ser feita neste formato.

Assessórios - Os piercings neste formato são muito comuns.

Farol - Em sua grande maioria, os faróis possuem o formato de tronco de cone.

Enfim, como podemos perceber, estudar os cones é importante para conhecer, destinguir e aplicá-los em nosso dia a dia.

Números Complexos

 Números Complexos

                                       Um pouco de história
No século XVI , os matemáticos Cardano e Bombelli, entre outros, realizaram alguns progressos no estudo das raízes quadradas de números negativos. Dois séculos depois, estes estudos foram ampliados por Wesses, Argand e Gauss. Estes matemáticos são considerados os criadores da teoria dos números complexos. A teoria dos Números Complexos, tem ampla aplicação nos estudos mais avançados de Eletricidade.

Unidade imaginária: define-se a unidade imaginária , representada pela letra i , como sendo a raiz quadrada de -1. Pode-se escrever então: i = Ö-1 .
Observe que a partir dessa definição , passam a ter sentido certas operações com números reais , a exemplo das raízes quadradas de números negativos .

Ex: Ö-16 = Ö16 . Ö-1 = 4.i = 4i

Potências de i :
i0 = 1
i1 = i
i2 = -1
i3 = i2 . i = -i
i4 = (i2)2 = (-1)2 = 1
i5 = i4 . i = 1.i = i
i6 = i5 . i = i . i = i2 = -1
i7 = i6 . i = -i , etc.

Percebe-se que os valores das potências de i se repetem no ciclo
1 , i , -1 , -i , de quatro em quatro a partir do expoente zero.
Portanto, para se calcular qualquer potência inteira de i , basta eleva-lo ao resto da divisão do expoente por 4. Assim , podemos resumir:

i4n = ir onde r = 0 , 1 , 2 ou 3. (r é o resto da divisão de n por 4).

Exemplo: Calcule i2001
Ora, dividindo 2001 por 4, obtemos resto igual a 1. Logo i2001 = i1 = i .
 
                                                        Número Complexo
Definição: Dados dois números reais a e b , define-se o número complexo z como sendo:
z = a + bi , onde i = Ö-1 é a unidade imaginária .
Exs: z = 2 + 3i ( a = 2 e b = 3)
w = -3 -5i (a = -3 e b = -5)
u = 100i ( a = 0 e b = 100)

                                                         Notas:
a) diz-se que z = a + bi é a forma binômia ou algébrica do complexo z .

b) dado o número complexo z = a + bi , a é denominada parte real e b parte imaginária.
Escreve-se : a = Re(z) ; b = Im(z) .

c) se em z = a + bi tivermos a = 0 e b diferente de zero, dizemos que z é um imaginário puro . Ex: z = 3i .

d)se em z = a + bi tivermos b = 0 , dizemos que z é um número real .
Ex: z = 5 = 5 + 0i .

e)do item (c) acima concluímos que todo número real é complexo, ou seja,
o conjunto dos números reais é um subconjunto do conjunto dos números complexos.

f) um número complexo z = a + bi pode também ser representado como um par ordenado z = (a,b) .

                                                 Exercícios Resolvidos:

1) Sendo z = (m2 - 5m + 6) + (m2 - 1) i , determine m de modo que z seja um imaginário puro.

Solução: Para que o complexo z seja um imaginário puro, sua parte real deve ser nula ou seja, devemos ter
m2 - 5m + 6 = 0, que resolvida encontramos m=2 ou m=3.
2) Determine a parte real do número complexo z = (1 + i)12 .

Solução: Observe que (1 + i)12 = [(1 + i)2]6 . Nestas condições, vamos desenvolver o produto notável
(1 + i)2 = 12 + 2.i + i2 = 1 + 2i -1 = 2i \ (1 + i)2 = 2i (isto é uma propriedade importante, que vale a pena ser memorizada).
Substituindo na expressão dada, vem:
(1 + i)12 = [(1 + i)2]6 = (2i)6 = 26.i6 = 64.(i2)3 = 64.(-1)3 = - 64.
Portanto, o número complexo dado fica z = - 64 = - 64 + 0i e portanto sua parte real é igual a -64.
3) Determine a parte imaginária do número complexo z = (1 - i)200 .

Solução: Podemos escrever o complexo z como: z = [(1 - i)2]100 . Desenvolvendo o produto notável
(1 - i)2 = 12 - 2.i + i2 = 1 - 2i -1 = - 2i \ (1 - i)2 = - 2i (isto é uma propriedade importante, que merece ser memorizada).
Substituindo na expressão dada, vem:
z = (- 2i)100 = (- 2)100. i100 = 2100 . i100 = 2100 . ( i2 )50 = 2100. (- 1)50 = 2100 . 1 = 2100.
Logo, o número complexo z é igual a 2100 e portanto um número real. Daí concluímos que a sua parte imaginária é zero.
                                        Conjugado de um número complexo
Dado um número complexo z = a + bi , chama-se conjugado de z e representa-se por , a um outro número complexo que possui a mesma parte real de z e a parte imaginária o simétrico aditivo da parte imaginária de z .

z = a + bi ® = a - bi
Ex: z = 3 + 5i ; = 3 - 5i

• Obs : Sabemos que os números complexos podem também ser representados na forma de pares ordenados . Assim é que z = a + bi = (a,b).

Portanto , por analogia com o sistema de coordenadas cartesianas , pode-se representar graficamente qualquer número complexo z num sistema de coordenadas cartesianas , bastando marcar a parte real a no eixo horizontal e a parte imaginária b no eixo vertical . Neste caso , o eixo horizontal é chamado eixo real e o eixo vertical é chamado eixo imaginário. O plano cartesiano, neste caso , denomina-se plano de Argand-Gauss.
O ponto que representa o número complexo z , denomina-se afixo de z.

                             Divisão de números complexos na forma binômia
Regra : Para dividir um número complexo z por outro w ¹ 0 , basta multiplicar numerador e denominador pelo complexo conjugado do denominador .

• Agora que você estudou a teoria, tente resolver os seguintes exercícios:

1 - Calcule o número complexo i126 + i-126 + i31 - i180

2 - Sendo z = 5i + 3i2 - 2i3 + 4i27 e w = 2i12 - 3i15 ,
calcule Im(z).w + Im(w).z .

3 - UCMG - O número complexo 2z, tal que 5z + = 12 + 6i é:

4 - UCSal - Para que o produto (a+i). (3-2i) seja real, a deve ser:

5 - UFBA - Sendo a = -4 + 3i , b = 5 - 6i e c = 4 - 3i , o valor de ac+b é:

6 - Mackenzie-SP - O valor da expressão y = i + i2 + i3 + ... + i1001 é:

7) Determine o número natural n tal que (2i)n + (1 + i)2n + 16i = 0.
Resp: 3
Clique aqui para ver a solução.

8) Calcule [(1+i)80 + (1+i)82] : i96.240
Resp: 1+2i

9) Se os números complexos z e w são tais que z = 2-5i e w = a+bi , sabendo-se que z+w é um número real e z.w .é um imaginário puro , pede-se calcular o valor de b2 - 2a.
Resp: 50

10) Se o número complexo z = 1-i é uma das raízes da equação x10 + a = 0 , então calcule o valor de a.
Resp: 32i

11) Determine o número complexo z tal que iz + 2 . + 1 - i = 0.

12 - UEFS-92.1 - O valor da expressão E = x-1 + x2, para x = 1 - i , é:
a)-3i
b)1-i
c) 5/2 + (5/2)i
d) 5/2 - (3/2)i
e) ½ - (3/2)i

13 -UEFS-93.2 - Simplificando-se a expressão E = i7 + i5 + ( i3 + 2i4 )2 , obtêm-se:
a) -1+2i
b) 1+2i
c) 1 - 2i
d) 3 - 4i
e) 3 + 4i

14 - UEFS-93.2 - Se m - 1 + ni = (3+i).(1 + 3i), então m e n são respectivamente:
a) 1 e 10
b) 5 e 10
c) 7 e 9
d) 5 e 9
e) 0 e -9

15 - UEFS-94.1 - A soma de um numero complexo z com o triplo do seu conjugado é igual a -8 - 6i. O módulo de z é:
a) Ö 13
b) Ö 7
c) 13
d) 7
e) 5

16 - FESP/UPE - Seja z = 1+i , onde i é a unidade imaginária. Podemos afirmar que z8 é igual a:
a) 16
b) 161
c) 32
d) 32i
e) 32+16i

17 - UCSal - Sabendo que (1+i)22 = 2i, então o valor da expressão
y = (1+i)48 - (1+i)49 é:
a) 1 + i
b) -1 + i
c) 224 . i
d) 248 . i
e) -224 . i

                                                            

  GABARITO:

1) -3 - i   
2) -3 + 18i  
3) 4 + 3i  
4) 3/2  
5) -2 + 18i  
6) i  
7) 3  
8) 1 + 2i  
9) 50  
10) 32i  
11) -1 - i
12) B   
13) D   
14) A   
15) A  
16) A   
17) E

Cone

O conceito de cone

Um cone é um sólido geométrico formado por todos os segmentos de reta que têm uma extremidade em um ponto V (vértice) em comum e a outra extremidade em um ponto qualquer de uma mesma região plana R (delimitada por uma curva suave, a base). De outra maneira, se você fizer a rotação de um triângulo retângulo sobre um eixo, verá que pode formar um cone.

Elementos do cone

Num cone podem ser observados vários elementos, tais como:
Vértice: é o ponto P, onde concorrem todos os segmentos de reta;
Base: é a região plana contida no interior da curva, inclusive a própria curva;

Eixo: é quando a base do cone é uma região que possui centro, o eixo é o segmento de reta que passa pelo vértice V e pelo centro da base;
Geratriz: é qualquer segmento que tenha uma extremidade no vértice do cone e a outra na curva que envolva a base;
Altura: é a distância do vértice do cone ao plano da base;

Superfície lateral: é a reunião de todos os segmentos de reta que tem uma extremidade em V e a outra na curva que envolve a base;
Superfície do cone: é reunião da superfície lateral com a base do cone que é o círculo;
Seção meridiana: é uma região triangular obtida pela interseção do cone com um plano que contém o eixo do mesmo.

               

 Classificação do no cone 

Ao observar a posição relativa do eixo em relação à base, os cones podem ser classificados como retos ou oblíquos. Um cone é dito reto quando o eixo é perpendicular ao plano da base e é oblíquo quando não é um cone reto.

A seguir apresentamos os exemplos de cones:

Podem haver também outros tipos de cones, que são eles:

Cone Equilátero: É um cone reto de base circular onde o diâmetro da base é igual a geratriz, isto é, o cone cuja secção meridiana (passa pelo centro da base) é um triângulo equilátero.

Cone Circular e Cone Elíptico: Em função das bases, os cones recebem nomes especiais. Por exemplo, um cone é dito circular se a base é um círculo e é dito elíptico se a base é uma região elíptica.

   

Tronco de cone

Se um cone sofrer a intersecção de um plano paralelo à sua base circular, a uma determinada altura, teremos a constituição de uma nova figura geométrica espacial denominada Tronco de Cone.

Diferentemente do cone, o tronco de cone possui duas bases circulares em que uma delas é maior que a outra, dessa forma, os cálculos envolvendo a área superficial e o volume do tronco envolverão a medida dos dois raios. A geratriz, que é a medida da altura lateral do cone, também está presente na composição do tronco de cone.

ATENÇÃO: Não devemos confundir a medida da altura do tronco de cone com a medida da altura de sua lateral (geratriz), pois são elementos distintos. A altura do cone forma com as bases um ângulo de 90º. No caso da geratriz os ângulos formados são um agudo e um obtuso.

Para Calcular:

Área da base (Ab):

Por ser uma circunferência, a área da base de um cone é dada pela seguinte expressão: 

Área da lateral (Al):
A área lateral do cone é dada pela seguinte expressão:

Área total (At):

É dada somando-se a área lateral e a área da base. 

At = Al + Ab 

At = Πr(g+r) 

 

Volume do cone (V):

O volume do cone é dado pelo produto da área da base pela altura divido por três. 

V = (Πr²h)/3

Tronco de cone

Área Superficial

 Volume