Pérolas da Matemática

Aluno que é aluno de verdade, sempre tenta dar aquela enrolada básica ou até mesmo brincadeirinhas. Então veja essas pérolas inacreditáveis.

Pérola do Limite:

Pérola da Expansão:

Pérola da Raiz:

Pérola do Seno:

 

 Pérola do X:

Na questão acima, vale a pena ressaltar a nota que ele recebeu: - 0,5

 Pérola da Conversão:

 

 

Pérola do Gráfico:

 Pérola da Soma:

y= 1 + 1
y= 3
IGUAL A TRÊS? Como assim?

Por fim, um descanso aos professores na hora de corrigirem as provas.

 

Atenção: Não faça isso em sua prova!

Pirâmides - Áreas, Volume, Troncos

Áreas

Numa pirâmide, temos as seguintes áreas:

a) área lateral ( A_L): reunião das áreas das faces laterais

b) área da base ( A_B): área do polígono convexo ( base da pirâmide)

c) área total (A_T): união da área lateral com a área da base

A_T = A_L +A_B

        Para uma pirâmide regular, temos:

em que:

Volume

        O princípio de Cavalieri assegura que um cone e uma pirâmide equivalentes possuem volumes iguais:

Troncos

          Se um plano interceptar todas as arestas de uma pirâmide ou de um cone, paralelamente às suas bases, o plano dividirá cada um desses sólidos em dois outros: uma nova pirâmide e um tronco de pirâmide; e um novo cone e um tronco de cone.

          Vamos estudar os troncos.

Tronco da pirâmide

      Dado o tronco de pirâmide regular a seguir, temos:

• as bases são polígonos regulares paralelos e semelhantes;
• as faces laterais são trapézios isósceles congruentes.

Pirâmides - Secção paralela à base de uma pirâmide

Secção paralela à base de uma pirâmide

        Um plano paralelo à base que intercepte todas as arestas laterais determina uma secção poligonal de modo que:

• as arestas laterais e a altura sejam divididas na mesma razão;
• a secção obtida e a base sejam polígonos semelhantes;
• as áreas desses polígonos estejam entre si assim como os quadrados de suas distâncias ao vértice.

Relações entre os elementos de uma pirâmide regular

      Vamos considerar uma pirâmide regular hexagonal, de aresta lateral l e aresta da base a:

    Assim, temos:

•  A base da pirâmide é um polígono regular inscritível em um círculo de raio OB = R.

• A face lateral da pirâmide é um triângulo isósceles.

• Os triângulos VOB e VOM são retângulos.

Pirâmides

Geometria Espacial

 

Pirâmides

      Dados um polígono convexo R, contido em um plano , e um ponto V ( vértice) fora de , chamamos  de pirâmide o conjunto de todos os segmentos .

Elementos da pirâmide

        Dada a pirâmide a seguir, temos os seguintes elementos:

• base: o polígono convexo R
• arestas da base: os lados do polígono
• arestas laterais: os segmentos
• faces laterais: os triângulos VAB, VBC, VCD, VDE, VEA
• altura: distância h do ponto V ao plano

Classificação

      Uma pirâmide é reta quando a projeção ortogonal do vértice coincide com o centro do polígono da base.

        Toda pirâmide reta, cujo polígono da base é regular, recebe o nome de pirâmide regular. Ela pode ser triangular, quadrangular, pentagonal etc., conforme sua base seja, respectivamente, um triângulo, um quadrilátero, um pentágono etc.

        Veja:

Observações:

1ª) Toda pirâmide triangular recebe o nome do tetraedro. Quando o tetraedro possui como faces triângulos eqüiláteros, ele é denominado regular ( todas as faces e todas as arestas são congruentes).

2ª) A reunião, base com base, de duas pirâmides regulares de bases quadradas resulta num octaedro. Quando as faces das pirâmides são triângulos eqüiláteros, o octaedro é regular.

Noções Básicas

  Noções Geométricas

• Definição

A geometria é a ciência que investiga as formas e as dimensões dos seres matemáticos.

• Geometria Elementar

  É a parte da geometria que estuda as figuras planas que podem ser traçadas com régua e compasso, e os sólidos cujas seções são estas figuras.

• Linhas

• Linha Poligonal

É a linha formada por segmentos de retas sucessivas, em diversas direções. As linhas poligonais podem ser:

abertas ou fechadas.

• Polígono

É a figura formada por uma linha poligonal fechada.

 

• Elementos do Polígono

LADOS - São os segmentos AB, BC, CD, ED e DA.

ÂNGULOS INTERNOS: São os ângulos formados por dois lados consequitivos.

ÂNGULOS EXTERNOS: São os ângulos formados por um lado e pelo prolongamento de outro lado adjacente.

VÉRTICES: São os pontos A, B, C, D e E.

Vídeo - Prismas

Aqui vai um vídeo de fixação para o conteúdo de Prisma. Àqueles que não assistiram a essa aula, é importante ver o vídeo para melhor compreensão do assunto.

Prisma

Alguns poliedros podem ser classificados em prismas ou pirâmides, de acordo com suas características. Porém, vamos focar nos prismas:

Conceito e definições

Um prisma é um sólido geométrico limitado por duas bases (polígonos iguais) situadas em planos paralelos e várias faces laterais (paralelogramos), como na figura a cima.

Se todas as faces são quadrados, o prisma é um cubo.

Se todas as faces são paralelogramos, o prisma é um paralelepípedo. Em qualquer paralelepípedo as faces são paralelas duas a duas.

Num prisma, o número de faces laterais é igual ao número de lados dos polígonos da base, isto é, é igual ao número de arestas da base.

A designação do polígono da base vai dar o nome ao prisma. Assim:

• se as bases são triângulos, o prisma chama-se triangular;
• se forem pentágonos, o prisma chama-se pentagonal;
• se forem quadrados, o prisma chama-se quadrangular;
• se forem retângulos, o prisma chama-se retangular;
• e assim por diante.

Elementos do Prisma

Num prisma temos os seguintes elementos:

• bases (polígonos);
• faces (paralelogramos);
• arestas das bases (lados das bases);
• arestas laterais (lados das faces que não pertencem às bases);
• vértices (pontos de encontro das arestas);
• altura (distância entre os planos das bases).

Veja esses elementos nos prismas abaixo e a planificação de um prisma de base pentagonal:

 

Classificações

Os prismas podem ser classificados em retos ou oblíquos:

O prisma reto tem suas faces laterais formadas por retângulos.

O prisma oblíquo tem suas faces laterais formadas por paralelogramos.

Fórmula da Área Lateral (Al)

Para aprender a determinar a área da superfície de um prisma recto, podemos utilizar como exemplo um prisma triangular cuja planificação se apresenta a seguir:

 

A superfície lateral do prisma encontra-se sombreada a vermelho, e a sua área, a que se chama área lateral do prisma e se representa por A_l, é dada por:

 A_l = (a + b + c). h ,

 sendo h a altura do prisma, ou seja, a distância entre as bases.

Fórmula da Área da Base (Ab)

Sombreada a cinzento está a superfície correspondente às duas bases. Representando a área de cada base por A_b. Como se trata de um triângulo, vamos usar a fórmula de cálculo de área do triângulo:

 A_b= B.H : 2.

Mas caso fosse um quadrado ou um hexágono, usaríamos suas fórmulas correspondentes.

Fórmula da Área Total (At)

 Após descobrirmos a área lateral e a área da base, teremos então que a área total do prisma será 

A_t = A_l + 2A_b .

Fórmula de Volume (V)

Quanto ao cálculo do volume do prisma (recto ou oblíquo), este é igual ao volume do paralelepípedo (justificação pelo Princípio de Cavalieri). Consideremos um paralelepípedo e um prisma com a mesma altura, e em que a base do paralelepípedo tem a mesma área que a base do prisma.

As secções feitas nestes dois sólidos por um plano paralelo às bases são polígonos com a mesma área, e portanto, pelo princípio de Cavalieri, estes dois sólidos têm o mesmo volume. Sendo assim, o volume do prisma é dado pela expressão:

V = A_b × h .

Enfim, é isso! E até o próximo post.

Exercícios e Vídeo - Paralelepípedo e Cubo

Paralelepípedo:

1. Uma prova internacional de natação é disputada em uma piscina olímpica com as seguintes dimensões: 50 metros de comprimento, 25 metros de largura e 3 metros de profundidade. Determine o volume e quantos litros de água são necessários para encher essa piscina. 

V = comprimento x largura x profundidade
V = 50 metros x 25 metros x 3 metros
V = 50 x 25 x 3
V = 3750 m³ (metros cúbicos)

Temos que 1 m³ corresponde a 1000 litros, portanto 3750 . 1000 = 3 750 000 litros (três milhões setecentos e cinquenta mil litros).

2. O degrau de uma escada lembra a forma de um paralelepípedo com as seguintes dimensões: 1 m de comprimento, 0,5 m de largura e 0,4 m de altura. Determine o volume total de concreto gasto na construção dessa escada sabendo que ela é constituída de 20 degraus.

Volume do degrau
V = 1 m x 0,5 m x 0,4 m
V = 0,20 m³
Volume total da escada
V = 0,20 x 20
V = 4 m³ ou 4 mil litros de concreto.

Fonte:Mundo Educação - Volume do Paralelepípedo

Cubo:

 1. Se a soma das medidas de todas as arestas de um cubo é 60 cm,então o volume desse cubo, em centímentros cúbicos, é:

a) 125 cm³
b) 100 cm³
c) 75 cm³
d) 60 cm³
e) 25 cm³

Resolução:

12 arestas
60 cm / 12 = 5
V = 5³ = 125 cm³

 Alternativa: a) 125 cm³ 

Fonte: Sequencias T229

2.

Vídeo Relacionado:

Vale a pena conferir: