Prisma

Alguns poliedros podem ser classificados em prismas ou pirâmides, de acordo com suas características. Porém, vamos focar nos prismas:

Conceito e definições

Um prisma é um sólido geométrico limitado por duas bases (polígonos iguais) situadas em planos paralelos e várias faces laterais (paralelogramos), como na figura a cima.

Se todas as faces são quadrados, o prisma é um cubo.

Se todas as faces são paralelogramos, o prisma é um paralelepípedo. Em qualquer paralelepípedo as faces são paralelas duas a duas.

Num prisma, o número de faces laterais é igual ao número de lados dos polígonos da base, isto é, é igual ao número de arestas da base.

A designação do polígono da base vai dar o nome ao prisma. Assim:

• se as bases são triângulos, o prisma chama-se triangular;
• se forem pentágonos, o prisma chama-se pentagonal;
• se forem quadrados, o prisma chama-se quadrangular;
• se forem retângulos, o prisma chama-se retangular;
• e assim por diante.

Elementos do Prisma

Num prisma temos os seguintes elementos:

• bases (polígonos);
• faces (paralelogramos);
• arestas das bases (lados das bases);
• arestas laterais (lados das faces que não pertencem às bases);
• vértices (pontos de encontro das arestas);
• altura (distância entre os planos das bases).

Veja esses elementos nos prismas abaixo e a planificação de um prisma de base pentagonal:

 

Classificações

Os prismas podem ser classificados em retos ou oblíquos:

O prisma reto tem suas faces laterais formadas por retângulos.

O prisma oblíquo tem suas faces laterais formadas por paralelogramos.

Fórmula da Área Lateral (Al)

Para aprender a determinar a área da superfície de um prisma recto, podemos utilizar como exemplo um prisma triangular cuja planificação se apresenta a seguir:

 

A superfície lateral do prisma encontra-se sombreada a vermelho, e a sua área, a que se chama área lateral do prisma e se representa por A_l, é dada por:

 A_l = (a + b + c). h ,

 sendo h a altura do prisma, ou seja, a distância entre as bases.

Fórmula da Área da Base (Ab)

Sombreada a cinzento está a superfície correspondente às duas bases. Representando a área de cada base por A_b. Como se trata de um triângulo, vamos usar a fórmula de cálculo de área do triângulo:

 A_b= B.H : 2.

Mas caso fosse um quadrado ou um hexágono, usaríamos suas fórmulas correspondentes.

Fórmula da Área Total (At)

 Após descobrirmos a área lateral e a área da base, teremos então que a área total do prisma será 

A_t = A_l + 2A_b .

Fórmula de Volume (V)

Quanto ao cálculo do volume do prisma (recto ou oblíquo), este é igual ao volume do paralelepípedo (justificação pelo Princípio de Cavalieri). Consideremos um paralelepípedo e um prisma com a mesma altura, e em que a base do paralelepípedo tem a mesma área que a base do prisma.

As secções feitas nestes dois sólidos por um plano paralelo às bases são polígonos com a mesma área, e portanto, pelo princípio de Cavalieri, estes dois sólidos têm o mesmo volume. Sendo assim, o volume do prisma é dado pela expressão:

V = A_b × h .

Enfim, é isso! E até o próximo post.